3.41 \(\int \frac{\sinh ^4(c+d x)}{(a+b \text{sech}^2(c+d x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=242 \[ -\frac{3 \sqrt{b} \left (5 a^2+20 a b+16 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{8 a^5 d \sqrt{a+b}}+\frac{3 x \left (a^2+12 a b+16 b^2\right )}{8 a^5}-\frac{3 b (a+2 b) \tanh (c+d x)}{2 a^4 d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )}-\frac{b (7 a+12 b) \tanh (c+d x)}{8 a^3 d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )^2}-\frac{(5 a+8 b) \sinh (c+d x) \cosh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )^2}+\frac{\sinh (c+d x) \cosh ^3(c+d x)}{4 a d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )^2} \]

[Out]

(3*(a^2 + 12*a*b + 16*b^2)*x)/(8*a^5) - (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/S
qrt[a + b]])/(8*a^5*Sqrt[a + b]*d) - ((5*a + 8*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*
x]^2)^2) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*(7*a + 12*b)*Tanh[c + d*
x])/(8*a^3*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (3*b*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/(2*a^4*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^
2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.39915, antiderivative size = 242, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {4132, 470, 527, 522, 206, 208} \[ -\frac{3 \sqrt{b} \left (5 a^2+20 a b+16 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{8 a^5 d \sqrt{a+b}}+\frac{3 x \left (a^2+12 a b+16 b^2\right )}{8 a^5}-\frac{3 b (a+2 b) \tanh (c+d x)}{2 a^4 d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )}-\frac{b (7 a+12 b) \tanh (c+d x)}{8 a^3 d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )^2}-\frac{(5 a+8 b) \sinh (c+d x) \cosh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )^2}+\frac{\sinh (c+d x) \cosh ^3(c+d x)}{4 a d \left (a-b \tanh ^2(c+d x)+b\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(3*(a^2 + 12*a*b + 16*b^2)*x)/(8*a^5) - (3*Sqrt[b]*(5*a^2 + 20*a*b + 16*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/S
qrt[a + b]])/(8*a^5*Sqrt[a + b]*d) - ((5*a + 8*b)*Cosh[c + d*x]*Sinh[c + d*x])/(8*a^2*d*(a + b - b*Tanh[c + d*
x]^2)^2) + (Cosh[c + d*x]^3*Sinh[c + d*x])/(4*a*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (b*(7*a + 12*b)*Tanh[c + d*
x])/(8*a^3*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^2)^2) - (3*b*(a + 2*b)*Tanh[c + d*x])/(2*a^4*d*(a + b - b*Tanh[c + d*x]^
2))

Rule 4132

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_), x_Symbol] :> With[{ff = Fr
eeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[ff^(m + 1)/f, Subst[Int[(x^m*ExpandToSum[a + b*(1 + ff^2*x^2)^(n/2), x]^p)/(
1 + ff^2*x^2)^(m/2 + 1), x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[m/2] && Integer
Q[n/2]

Rule 470

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> -Simp[(a*e^(2
*n - 1)*(e*x)^(m - 2*n + 1)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[e^(2
*n)/(b*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), Int[(e*x)^(m - 2*n)*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[a*c*(m - 2*n + 1) +
(a*d*(m - n + n*q + 1) + b*c*n*(p + 1))*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &
& IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m - n + 1, n] && IntBinomialQ[a, b, c, d, e, m, n, p, q, x]

Rule 527

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_.)*((e_) + (f_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> -Simp[
((b*e - a*f)*x*(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^(q + 1))/(a*n*(b*c - a*d)*(p + 1)), x] + Dist[1/(a*n*(b*c - a*d
)*(p + 1)), Int[(a + b*x^n)^(p + 1)*(c + d*x^n)^q*Simp[c*(b*e - a*f) + e*n*(b*c - a*d)*(p + 1) + d*(b*e - a*f)
*(n*(p + q + 2) + 1)*x^n, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, q}, x] && LtQ[p, -1]

Rule 522

Int[((e_) + (f_.)*(x_)^(n_))/(((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))), x_Symbol] :> Dist[(b*e - a*f
)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*x^n), x], x] - Dist[(d*e - c*f)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*x^n), x], x] /; FreeQ[{a
, b, c, d, e, f, n}, x]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sinh ^4(c+d x)}{\left (a+b \text{sech}^2(c+d x)\right )^3} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x^4}{\left (1-x^2\right )^3 \left (a+b-b x^2\right )^3} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{\cosh ^3(c+d x) \sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a+b+(4 a+7 b) x^2}{\left (1-x^2\right )^2 \left (a+b-b x^2\right )^3} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{4 a d}\\ &=-\frac{(5 a+8 b) \cosh (c+d x) \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{\cosh ^3(c+d x) \sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-(a+b) (3 a+8 b)-5 b (5 a+8 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b-b x^2\right )^3} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{8 a^2 d}\\ &=-\frac{(5 a+8 b) \cosh (c+d x) \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{\cosh ^3(c+d x) \sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{b (7 a+12 b) \tanh (c+d x)}{8 a^3 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{12 (a+b)^2 (a+4 b)+12 b (a+b) (7 a+12 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b-b x^2\right )^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{32 a^3 (a+b) d}\\ &=-\frac{(5 a+8 b) \cosh (c+d x) \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{\cosh ^3(c+d x) \sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{b (7 a+12 b) \tanh (c+d x)}{8 a^3 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{3 b (a+2 b) \tanh (c+d x)}{2 a^4 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{-24 (a+b)^2 \left (a^2+8 a b+8 b^2\right )-96 b (a+b)^2 (a+2 b) x^2}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b-b x^2\right )} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{64 a^4 (a+b)^2 d}\\ &=-\frac{(5 a+8 b) \cosh (c+d x) \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{\cosh ^3(c+d x) \sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{b (7 a+12 b) \tanh (c+d x)}{8 a^3 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{3 b (a+2 b) \tanh (c+d x)}{2 a^4 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )}+\frac{\left (3 \left (a^2+12 a b+16 b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{8 a^5 d}-\frac{\left (3 b \left (5 a^2+20 a b+16 b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-b x^2} \, dx,x,\tanh (c+d x)\right )}{8 a^5 d}\\ &=\frac{3 \left (a^2+12 a b+16 b^2\right ) x}{8 a^5}-\frac{3 \sqrt{b} \left (5 a^2+20 a b+16 b^2\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \tanh (c+d x)}{\sqrt{a+b}}\right )}{8 a^5 \sqrt{a+b} d}-\frac{(5 a+8 b) \cosh (c+d x) \sinh (c+d x)}{8 a^2 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}+\frac{\cosh ^3(c+d x) \sinh (c+d x)}{4 a d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{b (7 a+12 b) \tanh (c+d x)}{8 a^3 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )^2}-\frac{3 b (a+2 b) \tanh (c+d x)}{2 a^4 d \left (a+b-b \tanh ^2(c+d x)\right )}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 26.7117, size = 3080, normalized size = 12.73 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sinh[c + d*x]^4/(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3,x]

[Out]

(3*(a + 2*b + a*Cosh[2*c + 2*d*x])^3*Sech[c + d*x]^6*(((3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])
/Sqrt[a + b]])/(a + b)^(5/2) - (a*Sqrt[b]*(3*a^2 + 16*a*b + 16*b^2 + 3*a*(a + 2*b)*Cosh[2*(c + d*x)])*Sinh[2*(
c + d*x)])/((a + b)^2*(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^2)))/(16384*b^(5/2)*d*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3) + ((a +
2*b + a*Cosh[2*c + 2*d*x])^3*Sech[c + d*x]^6*((-3*a*(a + 2*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Tanh[c + d*x])/Sqrt[a + b]])/(
a + b)^(5/2) + (Sqrt[b]*(3*a^3 + 14*a^2*b + 24*a*b^2 + 16*b^3 + a*(3*a^2 + 4*a*b + 4*b^2)*Cosh[2*(c + d*x)])*S
inh[2*(c + d*x)])/((a + b)^2*(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^2)))/(16384*b^(5/2)*d*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3)
- (3*(a + 2*b + a*Cosh[2*c + 2*d*x])^3*Sech[c + d*x]^6*((-2*(3*a^5 - 10*a^4*b + 80*a^3*b^2 + 480*a^2*b^3 + 640
*a*b^4 + 256*b^5)*ArcTanh[(Sech[d*x]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c])*((a + 2*b)*Sinh[d*x] - a*Sinh[2*c + d*x]))/(2*Sqr
t[a + b]*Sqrt[b*(Cosh[c] - Sinh[c])^4])]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c]))/(Sqrt[a + b]*Sqrt[b*(Cosh[c] - Sinh[c])^4])
+ (Sech[2*c]*(256*b^2*(a + b)^2*(3*a^2 + 8*a*b + 8*b^2)*d*x*Cosh[2*c] + 512*a*b^2*(a + b)^2*(a + 2*b)*d*x*Cosh
[2*d*x] + 128*a^4*b^2*d*x*Cosh[2*(c + 2*d*x)] + 256*a^3*b^3*d*x*Cosh[2*(c + 2*d*x)] + 128*a^2*b^4*d*x*Cosh[2*(
c + 2*d*x)] + 512*a^4*b^2*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] + 2048*a^3*b^3*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] + 2560*a^2*b^4*d*x*Cosh[4
*c + 2*d*x] + 1024*a*b^5*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] + 128*a^4*b^2*d*x*Cosh[6*c + 4*d*x] + 256*a^3*b^3*d*x*Cosh[6*c
+ 4*d*x] + 128*a^2*b^4*d*x*Cosh[6*c + 4*d*x] - 9*a^6*Sinh[2*c] + 12*a^5*b*Sinh[2*c] + 684*a^4*b^2*Sinh[2*c] +
2880*a^3*b^3*Sinh[2*c] + 5280*a^2*b^4*Sinh[2*c] + 4608*a*b^5*Sinh[2*c] + 1536*b^6*Sinh[2*c] + 9*a^6*Sinh[2*d*x
] - 14*a^5*b*Sinh[2*d*x] - 608*a^4*b^2*Sinh[2*d*x] - 2112*a^3*b^3*Sinh[2*d*x] - 2560*a^2*b^4*Sinh[2*d*x] - 102
4*a*b^5*Sinh[2*d*x] + 3*a^6*Sinh[2*(c + 2*d*x)] - 12*a^5*b*Sinh[2*(c + 2*d*x)] - 204*a^4*b^2*Sinh[2*(c + 2*d*x
)] - 384*a^3*b^3*Sinh[2*(c + 2*d*x)] - 192*a^2*b^4*Sinh[2*(c + 2*d*x)] - 3*a^6*Sinh[4*c + 2*d*x] + 10*a^5*b*Si
nh[4*c + 2*d*x] + 304*a^4*b^2*Sinh[4*c + 2*d*x] + 1056*a^3*b^3*Sinh[4*c + 2*d*x] + 1280*a^2*b^4*Sinh[4*c + 2*d
*x] + 512*a*b^5*Sinh[4*c + 2*d*x]))/(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^2))/(65536*a^3*b^2*(a + b)^2*d*(a + b*Sech
[c + d*x]^2)^3) + ((a + 2*b + a*Cosh[2*c + 2*d*x])^3*Sech[c + d*x]^6*((6*(a^6 - 8*a^5*b + 120*a^4*b^2 + 1280*a
^3*b^3 + 3200*a^2*b^4 + 3072*a*b^5 + 1024*b^6)*ArcTanh[(Sech[d*x]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c])*((a + 2*b)*Sinh[d*x]
- a*Sinh[2*c + d*x]))/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[b*(Cosh[c] - Sinh[c])^4])]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c]))/(Sqrt[a + b]*Sq
rt[b*(Cosh[c] - Sinh[c])^4]) + (Sech[2*c]*(-1536*b^2*(a + b)^2*(3*a^3 + 14*a^2*b + 24*a*b^2 + 16*b^3)*d*x*Cosh
[2*c] - 3072*a*b^2*(a^2 + 3*a*b + 2*b^2)^2*d*x*Cosh[2*d*x] - 768*a^5*b^2*d*x*Cosh[2*(c + 2*d*x)] - 3072*a^4*b^
3*d*x*Cosh[2*(c + 2*d*x)] - 3840*a^3*b^4*d*x*Cosh[2*(c + 2*d*x)] - 1536*a^2*b^5*d*x*Cosh[2*(c + 2*d*x)] - 3072
*a^5*b^2*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] - 18432*a^4*b^3*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] - 39936*a^3*b^4*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] - 3
6864*a^2*b^5*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] - 12288*a*b^6*d*x*Cosh[4*c + 2*d*x] - 768*a^5*b^2*d*x*Cosh[6*c + 4*d*x] - 3
072*a^4*b^3*d*x*Cosh[6*c + 4*d*x] - 3840*a^3*b^4*d*x*Cosh[6*c + 4*d*x] - 1536*a^2*b^5*d*x*Cosh[6*c + 4*d*x] +
9*a^7*Sinh[2*c] - 54*a^6*b*Sinh[2*c] - 2392*a^5*b^2*Sinh[2*c] - 13968*a^4*b^3*Sinh[2*c] - 36480*a^3*b^4*Sinh[2
*c] - 50432*a^2*b^5*Sinh[2*c] - 35840*a*b^6*Sinh[2*c] - 10240*b^7*Sinh[2*c] - 9*a^7*Sinh[2*d*x] + 56*a^6*b*Sin
h[2*d*x] + 2552*a^5*b^2*Sinh[2*d*x] + 13184*a^4*b^3*Sinh[2*d*x] + 27072*a^3*b^4*Sinh[2*d*x] + 24576*a^2*b^5*Si
nh[2*d*x] + 8192*a*b^6*Sinh[2*d*x] - 3*a^7*Sinh[2*(c + 2*d*x)] + 26*a^6*b*Sinh[2*(c + 2*d*x)] + 992*a^5*b^2*Si
nh[2*(c + 2*d*x)] + 3648*a^4*b^3*Sinh[2*(c + 2*d*x)] + 4480*a^3*b^4*Sinh[2*(c + 2*d*x)] + 1792*a^2*b^5*Sinh[2*
(c + 2*d*x)] + 3*a^7*Sinh[4*c + 2*d*x] - 24*a^6*b*Sinh[4*c + 2*d*x] - 600*a^5*b^2*Sinh[4*c + 2*d*x] - 3200*a^4
*b^3*Sinh[4*c + 2*d*x] - 6720*a^3*b^4*Sinh[4*c + 2*d*x] - 6144*a^2*b^5*Sinh[4*c + 2*d*x] - 2048*a*b^6*Sinh[4*c
+ 2*d*x] + 256*a^5*b^2*Sinh[6*c + 4*d*x] + 1024*a^4*b^3*Sinh[6*c + 4*d*x] + 1280*a^3*b^4*Sinh[6*c + 4*d*x] +
512*a^2*b^5*Sinh[6*c + 4*d*x] + 64*a^5*b^2*Sinh[4*c + 6*d*x] + 128*a^4*b^3*Sinh[4*c + 6*d*x] + 64*a^3*b^4*Sinh
[4*c + 6*d*x] + 64*a^5*b^2*Sinh[8*c + 6*d*x] + 128*a^4*b^3*Sinh[8*c + 6*d*x] + 64*a^3*b^4*Sinh[8*c + 6*d*x]))/
(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^2))/(32768*a^4*b^2*(a + b)^2*d*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3) - ((a + 2*b + a*Cosh
[2*c + 2*d*x])^3*Sech[c + d*x]^6*((6*a^2*ArcTanh[(Sech[d*x]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c])*((a + 2*b)*Sinh[d*x] - a*S
inh[2*c + d*x]))/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[b*(Cosh[c] - Sinh[c])^4])]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c]))/(Sqrt[a + b]*Sqrt[b*(
Cosh[c] - Sinh[c])^4]) + (a*Sech[2*c]*((-9*a^4 - 16*a^3*b + 48*a^2*b^2 + 128*a*b^3 + 64*b^4)*Sinh[2*d*x] + a*(
-3*a^3 + 2*a^2*b + 24*a*b^2 + 16*b^3)*Sinh[2*(c + 2*d*x)] + (3*a^4 - 64*a^2*b^2 - 128*a*b^3 - 64*b^4)*Sinh[4*c
+ 2*d*x]) + (9*a^5 + 18*a^4*b - 64*a^3*b^2 - 256*a^2*b^3 - 320*a*b^4 - 128*b^5)*Tanh[2*c])/(a^2*(a + 2*b + a*
Cosh[2*(c + d*x)])^2)))/(8192*b^2*(a + b)^2*d*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3) + ((a + 2*b + a*Cosh[2*c + 2*d*x])^3*
Sech[c + d*x]^6*(768*(7*a^2 + 32*a*b + 32*b^2)*x - (3*(a^7 - 14*a^6*b + 336*a^5*b^2 + 5600*a^4*b^3 + 22400*a^3
*b^4 + 37632*a^2*b^5 + 28672*a*b^6 + 8192*b^7)*ArcTanh[(Sech[d*x]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c])*((a + 2*b)*Sinh[d*x]
- a*Sinh[2*c + d*x]))/(2*Sqrt[a + b]*Sqrt[b*(Cosh[c] - Sinh[c])^4])]*(Cosh[2*c] - Sinh[2*c]))/(b^2*(a + b)^(5
/2)*d*Sqrt[b*(Cosh[c] - Sinh[c])^4]) - (4*(a^5 + 50*a^4*b + 400*a^3*b^2 + 1120*a^2*b^3 + 1280*a*b^4 + 512*b^5)
*Sech[2*c]*((a + 2*b)*Sinh[2*c] - a*Sinh[2*d*x]))/(b*(a + b)*d*(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)])^2) + (768*a*(a
+ 2*b)*(Cosh[2*(c + d*x)] - Sinh[2*(c + d*x)]))/d - (768*a*(a + 2*b)*(Cosh[2*(c + d*x)] + Sinh[2*(c + d*x)]))/
d + (128*a^2*Sinh[4*(c + d*x)])/d + (a*(3*a^6 - 44*a^5*b - 1900*a^4*b^2 - 10880*a^3*b^3 - 23360*a^2*b^4 - 2150
4*a*b^5 - 7168*b^6)*Sech[2*c]*Sinh[2*d*x] + (-3*a^7 + 42*a^6*b + 2192*a^5*b^2 + 16480*a^4*b^3 + 51200*a^3*b^4
+ 77824*a^2*b^5 + 57344*a*b^6 + 16384*b^7)*Tanh[2*c])/(b^2*(a + b)^2*d*(a + 2*b + a*Cosh[2*(c + d*x)]))))/(327
68*a^5*(a + b*Sech[c + d*x]^2)^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.125, size = 1677, normalized size = 6.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sinh(d*x+c)^4/(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x)

[Out]

-27/4/d*b/a^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)
^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3-35/4/d*b^2/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d
*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3+3/d*b^3/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*ta
nh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^3-9/4/d*b/a
^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2
*tanh(1/2*d*x+1/2*c)-21/4/d*b^2/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a
-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)-3/d*b^3/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*
c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)-15/16/d*b^(1/2)/a^3/(a+b)^
(1/2)*ln((a+b)^(1/2)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b^(1/2)+(a+b)^(1/2))+15/16/d*b^(1/2)/a^3/(a+b
)^(1/2)*ln(-(a+b)^(1/2)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b^(1/2)-(a+b)^(1/2))-15/4/d*b^(3/2)/a^4/(a
+b)^(1/2)*ln((a+b)^(1/2)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b^(1/2)+(a+b)^(1/2))+15/4/d*b^(3/2)/a^4/(
a+b)^(1/2)*ln(-(a+b)^(1/2)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b^(1/2)-(a+b)^(1/2))-3/d*b^(5/2)/a^5/(a
+b)^(1/2)*ln((a+b)^(1/2)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b^(1/2)+(a+b)^(1/2))+3/d*b^(5/2)/a^5/(a+b
)^(1/2)*ln(-(a+b)^(1/2)*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)*b^(1/2)-(a+b)^(1/2))-3/8/d/a^3*ln(tanh(1/2
*d*x+1/2*c)-1)-21/4/d*b^2/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tan
h(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^7-3/d*b^3/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4
+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^7-27/4/d*b/a^2/(tanh(1/2*d*x+1
/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*
c)^5-35/4/d*b^2/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+
1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5+3/d*b^3/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/
2*d*x+1/2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^5-9/2/d/a^4*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)*b-
6/d/a^5*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)*b^2+3/2/d/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2*b-3/2/d/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)*
b+9/2/d/a^4*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)*b+6/d/a^5*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)*b^2-3/2/d/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1
)^2*b-3/2/d/a^4/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)*b+3/8/d/a^3*ln(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)-1/4/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1
)^4+1/2/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)^3+1/8/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2-3/8/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)+1)+
1/4/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)^4+1/2/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)^3-1/8/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)^2-3/
8/d/a^3/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)-1)-9/4/d*b/a^2/(tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4*a+b*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^4+2*tanh(1/2*d*x+1/
2*c)^2*a-2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2*tanh(1/2*d*x+1/2*c)^7

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)^4/(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.98083, size = 30538, normalized size = 126.19 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)^4/(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/64*(a^4*cosh(d*x + c)^16 + 16*a^4*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^15 + a^4*sinh(d*x + c)^16 - 4*(a^4 + 4*a^3*b)
*cosh(d*x + c)^14 + 4*(30*a^4*cosh(d*x + c)^2 - a^4 - 4*a^3*b)*sinh(d*x + c)^14 + 56*(10*a^4*cosh(d*x + c)^3 -
(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^13 - 2*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16
*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^12 + 2*(910*a^4*cosh(d*x + c)^4 - 13*a^4 - 72*a^3*b - 88*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a
^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x - 182*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 8*(546*a^4*cosh(d*x + c)^5 -
182*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x
)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 - 4*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*
b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^10 + 4*(2002*a^4*cosh(d*x + c)^6 - 1001*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^4 - 9
*a^4 - 24*a^3*b + 16*a^2*b^2 + 32*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x - 33*(13*a^4 + 72*a^
3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 8*(1430*a^4*cosh(
d*x + c)^7 - 1001*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^5 - 55*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b +
16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b
^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 16*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a
^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 + 2*(6435*a^4*cosh(d*x + c)^8 - 6006*(
a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^6 - 495*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*c
osh(d*x + c)^4 + 216*a^3*b + 912*a^2*b^2 + 1472*a*b^3 + 896*b^4 + 24*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b
^3 + 128*b^4)*d*x - 90*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)
*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 16*(715*a^4*cosh(d*x + c)^9 - 858*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^7 - 9
9*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 - 30*(9*a^4 + 24*a^3
*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 + 8*(27*a^3*b +
114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c
))*sinh(d*x + c)^7 + 4*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b
^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(2002*a^4*cosh(d*x + c)^10 - 3003*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^8 - 462*(13*a^4 +
72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 - 210*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^
2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 9*a^4 + 168*a^3*b + 496*
a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x + 112*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^
3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 +
8*(546*a^4*cosh(d*x + c)^11 - 1001*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^9 - 198*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12
*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 - 126*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4
+ 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 + 112*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 +
3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^
2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + 2*(13*a^
4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 2*(910*a^4*cosh(d*x + c)
^12 - 2002*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^10 - 495*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^
2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 - 420*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2
+ 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 560*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 1
52*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b
+ 16*a^2*b^2)*d*x + 30*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*
b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 - a^4 + 8*(70*a^4*cosh(d*x + c)^13 - 182*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x +
c)^11 - 55*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^9 - 60*(9*a^
4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 + 112*
(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*
cosh(d*x + c)^5 + 10*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3
)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 + (13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x +
c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(30*a^4*cosh(d*x + c)^14 - 91*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh
(d*x + c)^12 - 33*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^10 - 4
5*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^8
+ 112*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4
)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 3
2*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + a^4 + 4*a^3*b + 3*(13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*
a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 12*((5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^12 + 12*(5*
a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^11 + (5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*sinh(d*x + c)^12
+ 4*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 2*(10*a^4 + 60*a^3*b + 112*a^2*b^2 + 64*a*b
^3 + 33*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 20*(11*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*
b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 2*(15*a^4
+ 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)^8 + (495*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(
d*x + c)^4 + 30*a^4 + 200*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 576*a*b^3 + 256*b^4 + 180*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*
a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(99*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^5 + 60*(5*a^4 +
30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)
*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 4*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(231*(5*a^4
+ 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 5
*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3 + 14*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x
+ c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(99*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*
a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 14*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c
)^3 + 3*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + (5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2
*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (495*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 840*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*
b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 140*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)^4
+ 5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2 + 60*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c
)^4 + 4*(55*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^9 + 120*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*c
osh(d*x + c)^7 + 28*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)^5 + 20*(5*a^4 + 30*
a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^
3 + 2*(33*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^10 + 90*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cos
h(d*x + c)^8 + 28*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)^6 + 30*(5*a^4 + 30*a^
3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c
)^2 + 4*(3*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^11 + 10*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*co
sh(d*x + c)^9 + 4*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)^7 + 6*(5*a^4 + 30*a^3
*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + (5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c))*
sqrt(b/(a + b))*log((a^2*cosh(d*x + c)^4 + 4*a^2*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + a^2*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a^2
+ 2*a*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*a^2*cosh(d*x + c)^2 + a^2 + 2*a*b)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 + 8*a*b + 8*b^2 + 4*(
a^2*cosh(d*x + c)^3 + (a^2 + 2*a*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + 4*((a^2 + a*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(a^2 + a
*b)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + (a^2 + a*b)*sinh(d*x + c)^2 + a^2 + 3*a*b + 2*b^2)*sqrt(b/(a + b)))/(a*cosh(
d*x + c)^4 + 4*a*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^3 + a*sinh(d*x + c)^4 + 2*(a + 2*b)*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*a*cosh
(d*x + c)^2 + a + 2*b)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(a*cosh(d*x + c)^3 + (a + 2*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c) + a)) +
8*(2*a^4*cosh(d*x + c)^15 - 7*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^13 - 3*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4
+ 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^11 - 5*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^
3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^9 + 16*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^
4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 + 3*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 +
416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 + (13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b
^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 + (a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(a^
7*d*cosh(d*x + c)^12 + 12*a^7*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^11 + a^7*d*sinh(d*x + c)^12 + a^7*d*cosh(d*x + c)^
4 + 4*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^10 + 2*(33*a^7*d*cosh(d*x + c)^2 + 2*(a^7 + 2*a^6*b)*d)*sinh(d*x + c)^10
+ 2*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^8 + 20*(11*a^7*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh
(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + (495*a^7*d*cosh(d*x + c)^4 + 180*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*a^7 + 8
*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^6 + 8*(99*a^7*d*cosh(d*x + c)^5 + 6
0*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 4*(23
1*a^7*d*cosh(d*x + c)^6 + 210*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^4 + 14*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x
+ c)^2 + (a^7 + 2*a^6*b)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(99*a^7*d*cosh(d*x + c)^7 + 126*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c
)^5 + 14*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5
+ (495*a^7*d*cosh(d*x + c)^8 + a^7*d + 840*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^6 + 140*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^
2)*d*cosh(d*x + c)^4 + 60*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(55*a^7*d*cosh(d*x + c)^9 + a
^7*d*cosh(d*x + c) + 120*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^7 + 28*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^
5 + 20*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(33*a^7*d*cosh(d*x + c)^10 + 3*a^7*d*cosh(d*x +
c)^2 + 90*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^8 + 28*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^6 + 30*(a^7 + 2
*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^4)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(3*a^7*d*cosh(d*x + c)^11 + a^7*d*cosh(d*x + c)^3 + 10*(a^7 + 2
*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^9 + 4*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^7 + 6*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x +
c)^5)*sinh(d*x + c)), 1/64*(a^4*cosh(d*x + c)^16 + 16*a^4*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^15 + a^4*sinh(d*x + c)^
16 - 4*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^14 + 4*(30*a^4*cosh(d*x + c)^2 - a^4 - 4*a^3*b)*sinh(d*x + c)^14 + 56*(10
*a^4*cosh(d*x + c)^3 - (a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^13 - 2*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 1
2*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^12 + 2*(910*a^4*cosh(d*x + c)^4 - 13*a^4 - 72*a^3*b - 88*a^
2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x - 182*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^12 + 8*(546*
a^4*cosh(d*x + c)^5 - 182*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^3 - 3*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a
^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^11 - 4*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^
4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^10 + 4*(2002*a^4*cosh(d*x + c)^6 - 1001*(a^4 + 4*a^3*
b)*cosh(d*x + c)^4 - 9*a^4 - 24*a^3*b + 16*a^2*b^2 + 32*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*
x - 33*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^
10 + 8*(1430*a^4*cosh(d*x + c)^7 - 1001*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^5 - 55*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 -
12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 - 5*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4
+ 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + 16*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*
b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 + 2*(6435*a^4*co
sh(d*x + c)^8 - 6006*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^6 - 495*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*
b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 216*a^3*b + 912*a^2*b^2 + 1472*a*b^3 + 896*b^4 + 24*(3*a^4 + 44*a^3*b +
152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x - 90*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b +
40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 16*(715*a^4*cosh(d*x + c)^9 - 858*(a^4 + 4*a^3*
b)*cosh(d*x + c)^7 - 99*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^
5 - 30*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x +
c)^3 + 8*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*
b^4)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 4*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b
+ 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 4*(2002*a^4*cosh(d*x + c)^10 - 3003*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x
+ c)^8 - 462*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 - 210*(9*
a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 9*
a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x + 112*(27*a^3*b +
114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c
)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(546*a^4*cosh(d*x + c)^11 - 1001*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^9 - 198*(13*a^4 + 72*a
^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^7 - 126*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2
- 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 + 112*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 +
184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(9*a^
4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh
(d*x + c)^5 + 2*(13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 2*
(910*a^4*cosh(d*x + c)^12 - 2002*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^10 - 495*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(
a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 - 420*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 +
14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 560*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3
*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + 13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^
2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x + 30*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*
b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 - a^4 + 8*(70*a^4*cosh(d*x + c)^13 - 182*(a^4
+ 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^11 - 55*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh
(d*x + c)^9 - 60*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*
cosh(d*x + c)^7 + 112*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*
a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^5 + 10*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b +
40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 + (13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2
*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 4*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^2 + 4*(30*a^4*cosh(d*x + c)^14 - 9
1*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^12 - 33*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x
)*cosh(d*x + c)^10 - 45*(9*a^4 + 24*a^3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3
)*d*x)*cosh(d*x + c)^8 + 112*(27*a^3*b + 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2
+ 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x + c)^6 + 15*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*
a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^4 + a^4 + 4*a^3*b + 3*(13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12
*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 - 24*((5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cos
h(d*x + c)^12 + 12*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^11 + (5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2
*b^2)*sinh(d*x + c)^12 + 4*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^10 + 2*(10*a^4 + 60*a^3*b
+ 112*a^2*b^2 + 64*a*b^3 + 33*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^10 + 20*(11*(5*a^
4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(
d*x + c)^9 + 2*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)^8 + (495*(5*a^4 + 20*a^3
*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + 30*a^4 + 200*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 576*a*b^3 + 256*b^4 + 180*(5*a^4 + 30*a^
3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^8 + 8*(99*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x
+ c)^5 + 60*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + 2*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2
+ 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 4*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x
+ c)^6 + 4*(231*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^6 + 210*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^
3)*cosh(d*x + c)^4 + 5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3 + 14*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b
^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)^2)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(99*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^7 + 126*(
5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + 14*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 +
128*b^4)*cosh(d*x + c)^3 + 3*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + (5*a
^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^4 + (495*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^8 + 840*(5*a^
4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^6 + 140*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 12
8*b^4)*cosh(d*x + c)^4 + 5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2 + 60*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*
x + c)^2)*sinh(d*x + c)^4 + 4*(55*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^9 + 120*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56
*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^7 + 28*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x +
c)^5 + 20*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^3 + (5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*
x + c))*sinh(d*x + c)^3 + 2*(33*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^10 + 90*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a
^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^8 + 28*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)
^6 + 30*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^4 + 3*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*
x + c)^2)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(3*(5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x + c)^11 + 10*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*
a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^9 + 4*(15*a^4 + 100*a^3*b + 248*a^2*b^2 + 288*a*b^3 + 128*b^4)*cosh(d*x + c)
^7 + 6*(5*a^4 + 30*a^3*b + 56*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*cosh(d*x + c)^5 + (5*a^4 + 20*a^3*b + 16*a^2*b^2)*cosh(d*x +
c)^3)*sinh(d*x + c))*sqrt(-b/(a + b))*arctan(1/2*(a*cosh(d*x + c)^2 + 2*a*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c) + a*sin
h(d*x + c)^2 + a + 2*b)*sqrt(-b/(a + b))/b) + 8*(2*a^4*cosh(d*x + c)^15 - 7*(a^4 + 4*a^3*b)*cosh(d*x + c)^13 -
3*(13*a^4 + 72*a^3*b + 88*a^2*b^2 - 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^11 - 5*(9*a^4 + 24*a^
3*b - 16*a^2*b^2 - 32*a*b^3 - 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh(d*x + c)^9 + 16*(27*a^3*b
+ 114*a^2*b^2 + 184*a*b^3 + 112*b^4 + 3*(3*a^4 + 44*a^3*b + 152*a^2*b^2 + 224*a*b^3 + 128*b^4)*d*x)*cosh(d*x +
c)^7 + 3*(9*a^4 + 168*a^3*b + 496*a^2*b^2 + 416*a*b^3 + 24*(a^4 + 14*a^3*b + 40*a^2*b^2 + 32*a*b^3)*d*x)*cosh
(d*x + c)^5 + (13*a^4 + 144*a^3*b + 200*a^2*b^2 + 12*(a^4 + 12*a^3*b + 16*a^2*b^2)*d*x)*cosh(d*x + c)^3 + (a^4
+ 4*a^3*b)*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c))/(a^7*d*cosh(d*x + c)^12 + 12*a^7*d*cosh(d*x + c)*sinh(d*x + c)^11 +
a^7*d*sinh(d*x + c)^12 + a^7*d*cosh(d*x + c)^4 + 4*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^10 + 2*(33*a^7*d*cosh(d*x +
c)^2 + 2*(a^7 + 2*a^6*b)*d)*sinh(d*x + c)^10 + 2*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^8 + 20*(11*a^7
*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^9 + (495*a^7*d*cosh(d*x + c)^4 + 180*(a^
7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^2 + 2*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d)*sinh(d*x + c)^8 + 4*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh
(d*x + c)^6 + 8*(99*a^7*d*cosh(d*x + c)^5 + 60*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^3 + 2*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*
b^2)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^7 + 4*(231*a^7*d*cosh(d*x + c)^6 + 210*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^4 +
14*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^2 + (a^7 + 2*a^6*b)*d)*sinh(d*x + c)^6 + 8*(99*a^7*d*cosh(d*
x + c)^7 + 126*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^5 + 14*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^3 + 3*(a^7
+ 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c))*sinh(d*x + c)^5 + (495*a^7*d*cosh(d*x + c)^8 + a^7*d + 840*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh
(d*x + c)^6 + 140*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^4 + 60*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^2)*sinh
(d*x + c)^4 + 4*(55*a^7*d*cosh(d*x + c)^9 + a^7*d*cosh(d*x + c) + 120*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^7 + 28*(
3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^5 + 20*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^3)*sinh(d*x + c)^3 + 2*(33
*a^7*d*cosh(d*x + c)^10 + 3*a^7*d*cosh(d*x + c)^2 + 90*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^8 + 28*(3*a^7 + 8*a^6*b
+ 8*a^5*b^2)*d*cosh(d*x + c)^6 + 30*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^4)*sinh(d*x + c)^2 + 4*(3*a^7*d*cosh(d*x
+ c)^11 + a^7*d*cosh(d*x + c)^3 + 10*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^9 + 4*(3*a^7 + 8*a^6*b + 8*a^5*b^2)*d*cos
h(d*x + c)^7 + 6*(a^7 + 2*a^6*b)*d*cosh(d*x + c)^5)*sinh(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)**4/(a+b*sech(d*x+c)**2)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.22649, size = 714, normalized size = 2.95 \begin{align*} \frac{3 \,{\left (a^{2} + 12 \, a b + 16 \, b^{2}\right )}{\left (d x + c\right )}}{8 \, a^{5} d} - \frac{3 \,{\left (5 \, a^{2} b + 20 \, a b^{2} + 16 \, b^{3}\right )} \arctan \left (\frac{a e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a + 2 \, b}{2 \, \sqrt{-a b - b^{2}}}\right )}{8 \, \sqrt{-a b - b^{2}} a^{5} d} + \frac{a^{3} d e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} - 8 \, a^{3} d e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 24 \, a^{2} b d e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )}}{64 \, a^{6} d^{2}} - \frac{6 \, a^{4} e^{\left (12 \, d x + 12 \, c\right )} + 72 \, a^{3} b e^{\left (12 \, d x + 12 \, c\right )} + 96 \, a^{2} b^{2} e^{\left (12 \, d x + 12 \, c\right )} + 16 \, a^{4} e^{\left (10 \, d x + 10 \, c\right )} + 168 \, a^{3} b e^{\left (10 \, d x + 10 \, c\right )} + 384 \, a^{2} b^{2} e^{\left (10 \, d x + 10 \, c\right )} + 256 \, a b^{3} e^{\left (10 \, d x + 10 \, c\right )} + 5 \, a^{4} e^{\left (8 \, d x + 8 \, c\right )} - 64 \, a^{3} b e^{\left (8 \, d x + 8 \, c\right )} - 192 \, a^{2} b^{2} e^{\left (8 \, d x + 8 \, c\right )} - 256 \, a b^{3} e^{\left (8 \, d x + 8 \, c\right )} - 256 \, b^{4} e^{\left (8 \, d x + 8 \, c\right )} - 20 \, a^{4} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} - 360 \, a^{3} b e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} - 1024 \, a^{2} b^{2} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} - 896 \, a b^{3} e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} - 20 \, a^{4} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} - 216 \, a^{3} b e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} - 304 \, a^{2} b^{2} e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} - 4 \, a^{4} e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} - 16 \, a^{3} b e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )} + a^{4}}{64 \,{\left (a e^{\left (6 \, d x + 6 \, c\right )} + 2 \, a e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + 4 \, b e^{\left (4 \, d x + 4 \, c\right )} + a e^{\left (2 \, d x + 2 \, c\right )}\right )}^{2} a^{5} d} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sinh(d*x+c)^4/(a+b*sech(d*x+c)^2)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

3/8*(a^2 + 12*a*b + 16*b^2)*(d*x + c)/(a^5*d) - 3/8*(5*a^2*b + 20*a*b^2 + 16*b^3)*arctan(1/2*(a*e^(2*d*x + 2*c
) + a + 2*b)/sqrt(-a*b - b^2))/(sqrt(-a*b - b^2)*a^5*d) + 1/64*(a^3*d*e^(4*d*x + 4*c) - 8*a^3*d*e^(2*d*x + 2*c
) - 24*a^2*b*d*e^(2*d*x + 2*c))/(a^6*d^2) - 1/64*(6*a^4*e^(12*d*x + 12*c) + 72*a^3*b*e^(12*d*x + 12*c) + 96*a^
2*b^2*e^(12*d*x + 12*c) + 16*a^4*e^(10*d*x + 10*c) + 168*a^3*b*e^(10*d*x + 10*c) + 384*a^2*b^2*e^(10*d*x + 10*
c) + 256*a*b^3*e^(10*d*x + 10*c) + 5*a^4*e^(8*d*x + 8*c) - 64*a^3*b*e^(8*d*x + 8*c) - 192*a^2*b^2*e^(8*d*x + 8
*c) - 256*a*b^3*e^(8*d*x + 8*c) - 256*b^4*e^(8*d*x + 8*c) - 20*a^4*e^(6*d*x + 6*c) - 360*a^3*b*e^(6*d*x + 6*c)
- 1024*a^2*b^2*e^(6*d*x + 6*c) - 896*a*b^3*e^(6*d*x + 6*c) - 20*a^4*e^(4*d*x + 4*c) - 216*a^3*b*e^(4*d*x + 4*
c) - 304*a^2*b^2*e^(4*d*x + 4*c) - 4*a^4*e^(2*d*x + 2*c) - 16*a^3*b*e^(2*d*x + 2*c) + a^4)/((a*e^(6*d*x + 6*c)
+ 2*a*e^(4*d*x + 4*c) + 4*b*e^(4*d*x + 4*c) + a*e^(2*d*x + 2*c))^2*a^5*d)